ИНФОРМАЦИЯ

МАРКИ СССР 1961-1991 по сериям

Интересное о Филателии
все статьи -->

Декабристы в окружении А.С. Пушкина

Эстетика милосердия

О башкире-певце и бесстрашном бойце

Памяти выдающейся писательницы


Главная  /  Бесконечность в бесконечно малом. Искусство самоподобия

Поиск по статьям:

Бесконечность в бесконечно малом. Искусство самоподобия

2024-01-18 10:24:21, Рубрики: ФИЛАТЕЛИЯ.РУ

Всем, кто соскучился по красивой математике, Александр Платонов предлагает свою новую статью о том, как можно рисовать картины с помощью формул. Это очень красиво. Особенно в динамике.

*  *  *

«Под микроскопом он открыл, что на блохе
Живет блоху кусающая блошка;
На блошке той блошинка-крошка,
В блошинку же вонзает зуб сердито
Блошиночка, и так ad infinitum». Джонатан Свифт  

Если вы отломите одно из соцветий цветной капусты, то в руках окажется та же капуста, только меньшего размера. Можно продолжать те же действия снова и снова, и каждый раз будут получаться еще более уменьшенные копии той же капусты.

Открывая одну матрешку за другой, мы попадаем в мир простых иерархических самоподобных множеств. Для описания таких систем в математике применяют термин «фрактал». Фракталы – это самоподобные фигуры, которые повторяют свою структуру при увеличении или уменьшении масштаба. Малая часть фрактала выглядит также как и целый фрактал.

Чем так привлекательны изображения? У фракталов дробная размерность! Линия – одномерна, плоскость – двухмерна, объем мы воспринимаем трехмерным. Фракталы принимают, как правило, дробное значение от 1 до 2 или от 2 до 3. Это не линия, не плоскость и не объем, а нечто среднее между ними.

Множество Кантора

Старейшим фракталом считается множество Кантора, одного из основателей теории числового множества. Этот фрактал представляет множество, равное двум копиям самого себя.

Отрезок любой длины делится на три части. Далее вынимается средний участок. На втором шаге подобной процедуры деления на три части с последующим удалением середины подвергаются оба оставшихся отрезка.

Процесс может продолжаться до бесконечности, пока не получится Канторова пыль – множество точек, которые не были удалены.

Древовидный фрактал

Строится на линиях путем прибавления на каждом шаге итерации уменьшенной копии предыдущего звена в виде разветвленной ветки. Так растет крона деревьев.

Подобную форму имеет дыхательная, кровеносная и нервная системы.

К природным относятся и фракталы Георга Лихтенберга, немецкого физика, изучавшего природу разрядов молний.

Такие следы оставляют потоки электронов при высоковольтном разряде.

Древовидный фрактал можно построить и на простых геометрических фигурах, например, на единичном квадрате в виде дерева Пифагора. Уменьшение длины стороны квадрата происходит с коэффициентом 0,707.

Если заменить квадраты на прямоугольники, то дерево будет больше похоже на настоящее.

Кривая Коха

Еще один классический фрактал, который строится на линиях, но результат получается в виде кривой. Для этого нужно отрезок условно разделить на 4 равные части и сложить в виде ребра треугольной формы (итерация №1). Далее каждый из полученных четырех отрезков снова сложить в виде ребра (итерация №2) и т.д. Уже на третьей итерации начинается прорисовываться еще не фигура, но уже и не отрезок. Один из лучших примеров проявления кривой Коха в природе – структура береговых линий. На километровом отрезке побережье выглядит столько же изрезанным, как и на стокилометровом.

Кривую Коха можно замкнуть в форме снежинки. Для этого нужно сложить три отрезка в виде равностороннего треугольника и на каждой стороне получить кривую Коха как в предыдущем примере. При бесконечном делении снежинка (или остров) Коха будет иметь бесконечный по длине периметр, который ограничивает конечную площадь.

Кривая Гильберта

Классическая фрактальная кривая, носящая имя немецкого математика Давида Гильберта.

Условно бесконечная нить заполняет площадь квадрата, проходя через каждую точку этой площади.

А этот кубик можно просто расправить в линию и мы не пропустим ни одной точки с необходимым нам разрешением.

Кубик Гильберта

Главное свойство, благодаря которому используется кривая Гильберта, - расстояние между двумя любыми соседними точками на кривой равно единице. Это позволяет управлять цветовой палитрой на экране монитора. Конкретнее, позволяет создавать наборы цветов для графических редакторов с отсутствием пропусков оттенков, но с шагом, достаточным для различения.

Треугольник Серпинского

Это простейший фрактал канторова множества, равное трем копиям самого себя, где каждая копия делается в два раза меньше.

Классический дырявый квадрат (ковер, салфетку) Вацлава Серпинского можно получить, к примеру, делением квадрата на 9 частей и выбрасыванием центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.

Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство создает губку Менгера. Каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших.

Дракон Хартера

Это фрактал, для получения которого достаточно иметь листочек бумаги в клетку и карандаш. Для его построения берется отрезок. Повернув его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавив полученный отрезок к исходному, получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной и т.д.

При достаточно большом повторении получается кривая в виде дракона.

Множества Жюлиа и Мандельброта

Дракончиков можно получить иным способом.

Все выше описанные фракталы представляют множества действительных чисел. Когда на числовой оси становится «тесно», числа выходят на комплексную плоскость. В этом случае итерацию приходится проводить для уравнений в виде полиномов, например, второго порядка:

Многоликость множество Жюлиа зависит от комплексной переменной «с».

Приведенная последовательность может уходить в бесконечность либо стремиться к некоторой конечной точке комплексной плоскости, называемой аттрактором – к пределу последовательности полинома. Множество всех точек плоскости с конечными аттракторами и называется множеством Жюлиа. Так при значении «с», равному мнимой единице i, получается вот такой красочный ковер:

При некоторых значениях «с» множество Жюлиа теряет связность и рассыпается на мелкие осколки – пыль Фату. Если множество свя́зно, то оно превращается в множество Мандельброта – в один из самых известных фракталов. В центре находится кардиоида или сердце фрактала, которое облеплено почками, наростами и причудливыми усами. Эти почки и наросты в свою очередь облеплены более мелкими почками и так далее.

Показанный на полях почтового блока жук Бенуа Мандельброта самоподобен. Строго математически изображения множеств Мандельброта и Жюлиа должны быть черно-белыми – точка либо принадлежит множеству (черный цвет), либо нет. Но были предложены варианты сделать изображения цветными. Самым распространенным способом является окрашивание точек около внешней границы множества в зависимости от количества итераций. Но Бенуа интересовала именно черная зона! Не окрестность с красивыми цветными протуберанцами, а именно скучная черная часть.

Существует такой простой шуточный тест. Глядя на эту визитку мира фракталов, нужно ответить на простой вопрос: «Что здесь самое важное – черное или цветное?».

Если ответ будет «цветное», то вы, скорее всего, в душе дизайнер. А если «черное», то вы самый настоящий и занудный математик.

Материал подготовлен по серии почтовых марок Макао 2005 года, приуроченной к Году науки и технологий.

Александр Платонов

 

Другие статьи автора: 

С радиацией по жизни

Коллекция без претензий

Что в имени моем тебе…

Из историии мореплавания

Все гениальное просто. Или нет?

Едут-едут по Пекину наши казаки

Созвездие кактусов

Исаак Ньютон и его яблоко

Певец русской природы

А рельсы-то, как водится, у горизонта сходятся

Мятежный «Баунти». По следам золотоносного «Оскара»

Красота и привлекательность Фибоначчи

Из истории изобретения автомобиля

Отсюдова и дотудова. Почему мы так измеряем

Первая энциклопедия математических знаний России

Вильгельм Рентген и его всепроникающие Х-лучи

Самое непростое простое солнечное вещество

От Ламарка до… Ламарка

Электричество, которое сначала открыли, а затем изобрели

Гении великого вращения




Комментарии к статье:
2024-01-18 15:46:50, Сухарев А.И.
Бесподобно! "Я знаю, что я ничего не знаю!" (Декарт - ?) Поклон автору.

Комментировать статью:
Имя:
Комментарий:
Защитный код:



  • Декабристы в окружении А.С. Пушкина
  • Эстетика милосердия
  • О башкире-певце и бесстрашном бойце
  • Памяти выдающейся писательницы
  • Рисунки на почтовых конвертах
  • Космическая фантастика на почтовых марках
  • Обращение к коллекционерам
  • Любимый архитектор императрицы
  • По следам наших публикаций. Вносим ясность
  • В наш дом пришел Мурзилка
  • Футуризм на спортивных марках
  • История открытки. Художник Сергей Сергеевич Соломко
  • Вопрос от юного филателиста
  • Н.К. Рерих глазами филателиста
  • Башкирия в филателии. Сталевар В.А. Захаров
  • Об одном импровизированном почтовом отделении
  • Литературное и художественное окружение А.С.Пушкина
  • ПРОТОКОЛ заседания Комиссии по ГЗПО
  • Итальянский футуризм
  • Тульские открытки 150 лет назад
  • Чайковский в филателии
  • Королевство Седанг. Неизвестные страницы истории известного Королевства
  • Сколько стоят марки?
  • Обзор выпусков почтовых марок за март 2024 года
  • Классификация филателистов по видам
  • Мир Оскара Кокошки: филателистический взгляд
  • Микеланджело Севера – Северной Пальмире
  • Большая коллекция марок
  • Вселенная Эдвина Хаббла
  • Архитектор Гаральд Юлиус Боссе
  • О художнике, путешествиях и почтовых конвертах
  • Редкие открытки про выборы в СССР
  • Марки России. Первый коммеморативный выпуск марок Российской империи
  • Генерал-архитектор Санкт-Петербурга
  • О моей филателии
  • К 90-летию со дня рождения Юрия Гагарина. Визит в Индию
  • Филателистический букет из орхидей
  • Из Казанской губернии – к Казанскому собору
  • Бабочки в архитектуре и скульптуре мира, отраженной в филателии
  • Филателистическая программа XII Всемирного фестиваля молодёжи и студентов
  • По следам наших публикаций. Не каталожные разновидности цвета
  • Фестиваль молодежи — фестиваль мира
  • Почтовые призраки. Свободное государство Акри
  • К 240-летию со дня рождения архитектора Лео фон Кленце
  • Обзор почтовых марок за февраль 2024 года
  • История открытки. Двухсторонние маркированные карточки
  • Круглый стол. Загадка одной марки
  • Филателистические выставки эпохи модерна. Опыт культурологической реконструкции
  • Спорт в пожарной охране
  • По следам наших выступлений. Кинешма на марках и конвертах
  • Юбилей русского архитектора Гёдике
  • Рубрика «Достучаться до САМОГО». Юбилей Пушкина
  • Почтовые призраки. Остров Роз
  • Как рождается «редкость»?
  • Пожарная техника в филателии
  • Марки рассказывают о стиле граффити
  • Охотники за светом
  • Спортивный дух и филателистический азарт
  • Профессия - пожарный
  • История Суздаля в искусстве почтовой миниатюры
  • Москва, я думал о тебе!
  • Острова, «призраки» и... козы
  • Китайский Новый год в филателии
  • Российской академии наук — 300 лет
  • История в марке
  • Филателия — больше, чем увлечение
  • Самая дорогая марка вашей коллекции
  • История Сталинградского театра
  • Люди - как цветы
  • Малая Родина. Курская область на почтовых марках
  • Наш Сталинград. Помним и гордимся
  • Открытие экспозиции «Пожарная охрана на почтовых марках и конвертах»
  • Сталинградская битва – сражение, изменившее ход войны
  • С 300-летием, Монетный двор!!!
  • Итоги голосования
  • Обзор почтовых марок за январь 2024 года
  • Как мы пришли в Филателию!
  • Дорогу осилит идущий...
  • Малая Родина. Рыбинск на почтовых конвертах и марках
  • Космос под увеличительным стеклом
  • Рубрика «Достучаться до САМОГО». Эстафета поколений
  • Филателистический Саров
  • Россия или Гвинея Биссау
  • Прошло шестьдесят лет...
  • Филателистическая пушкиниана 2024
  • XV научно-практический семинар по истории почты, филателии и филокартии
  • Рубрика «Достучаться до САМОГО». К 100-летию со дня рождения В.П. Макеева
  • Первополосные открытки
  • Бесконечность в бесконечно малом. Искусство самоподобия
  • К юбилею архитектора Монигетти
  • Олимпийские творцы
  • Почтовые призраки. Тайна «марок мормонов»
  • Национальное достояние России на почтовых марках
  • Природа как художница волшебных узоров на крыльях бабочек и мотыльков
  • Коллаж в филателии
  • Малая Родина. Моя Тюмень
  • Cамая красивая марка SEPAC 2023
  • Саров – моя малая Родина!
  • Необычные открытки про Рождество
  • … И чтобы моя коллекция не пропала
  • История открытки. Новогодние выпуски
  • Первый советский новогодний конверт
  • Самая неудачная марка 2023 года
  • Новогодние и рождественские открытки начала XX века
  • ВНИМАНИЕ! Конкурс! А скоро Новый Год!
  • Новогодние марки в России!
  • Новый год в советской филателии
  • Целительница ран душевных
  • Потомки викингов
  • Конкурс «Достучаться до САМОГО». Юбилей Б.Л. Модзалевского
  • Конкурс «Достучаться до САМОГО». Положение о знаках почтовой оплаты и специальных почтовых штемпелях
  • Чем запомнился 2023 год в Филателии?
  • Итоги филателистического 2023 года
  • К юбилею архитектора Адама Менеласа
  • Оп-арт в филателии
  • История, случившаяся сто лет назад
  • Как Александр Шульгин отправил марки в космос
  • Обзор почтовых марок за декабрь 2023 года
  • Снегири прилетели...
  • Конкурс «Достучаться до САМОГО». Гербы городов России
  • Лучшая марка 2023 года
  • «Спокойной ночи, малыши», или Ностальгия по детству
  • Гении великого вращения
  • Хочется верить в чудеса
  • Авангард в филателии. Творчество Анри Матисса
  • Истоки почты родного края. Возвратить в Уфу
  • Московские загадки
  • Электричество, которое сначала открыли, а затем изобрели
  • Авангард в филателии. Творчество Пабло Пикассо
  • Как открыть Кружок юных филателистов
  • Огюст Бурди и его марки
  • «Коллекционирование – это весело»: вологжанка показывает коллекцию новогодних открыток
  • Джеймс Уистлер в Петербурге. Проект филателистической экскурсии
  • Почта, филателия и филокартия
  • Формирование коллекции экзотических бабочек Зоологического музея МГУ
  • Обзор почтовых марок за ноябрь 2023 года
  • Бонжур, месье Mушон!
  • От Камчатки до Калининграда
  • Загадка одной марки
  • От Ламарка до… Ламарка
  • Самый известный иркутский филателист
  • Что в городе моем? Филателистический каталог
  • Юбилей русского Леонардо
  • Авангард в филателии. Творчество Василия Кандинского
  • Романовская серия
  • «Черное золото» на почтовых марках
  • Остров Барб и его марки
  • Из истории металлов
  • Главный синоптик Красной Армии
  • Cтрана непролазных джунглей

  •  на главную страницу     каталоги марок     Как заказать     Продажа     Покупка     Объявления     Новости     Полезное


    общий КАТАЛОГ всех марок
    Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru